Notas de clase
En esta página pueden encontrar las notas del curso de álgebra moderna 1 que impartí en la Facultad de Ciencias de la UNAM el semestre 2022-2. Este curso empezó como un curso a distancias por un mes y después se reanudaron las clases presenciales. Las notas que pongo aquí son notas a mano escritas por mi siguiendo principalmente el libro
Isaacs, Martin, Algebra. A graduate course. Graduate studies in mathematics Vol. 100, AMS, 1994.
Estas notas no son exactamente lo que impartí en clase y es posible que se encuentren errores por lo que se deben leer con cuidado.
Isaacs, Martin, Algebra. A graduate course. Graduate studies in mathematics Vol. 100, AMS, 1994.
Estas notas no son exactamente lo que impartí en clase y es posible que se encuentren errores por lo que se deben leer con cuidado.
Introducción a los grupos (Grupos de permutaciones).
Grupos de rotaciones de un cubo y grupo asociado al cubo de Rubik.
Definición de grupo y ejemplos.
Subgrupos.
Subgrupos cíclicos.
Propiedades de grupos cíclicos.
Propiedades de grupos cíclicos II.
Centralizador, Centro y Automorfismos Interiores.
Subgrupos normales.
Clases laterales y Teorema de Lagrange.
Caracterización de subgrupo normal y el grupo cociente.
El normalizador.
Homomorfismos.
2do Teorema de Isomorfismo.
Teorema de la correspondencia.
Conmutador.
Acciones de grupo.
Acciones de grupo II.
Orbitas de una acción.
Estabilizador y orbitas.
Conteo de orbitas.
Clases de conjugación en \(S_3\).
Recíproco del teorema de la Lagrange para grupos abelianos.
Teorema de Cauchy y subgrupos de Sylow.
Teoremas de Sylow.
Número de subgrupos de Sylow.
Aplicaciones de los teoremas de Sylow.
Aplicaciones de los teoremas de Sylow II.
n!-Teorema.
P-grupos.
P-grupos II.
Ultimos lemas de la parte de Sylow.
Grupo simétrico.
Conjugados en Sn.
Permutaciones pares e impares.
El grupo alternante.
\(A_5\) es simple.
\(A_n\) es simple para \(n\geq 5\) y algunas consecuencias.
Grupos de rotaciones de un cubo y grupo asociado al cubo de Rubik.
Definición de grupo y ejemplos.
Subgrupos.
Subgrupos cíclicos.
Propiedades de grupos cíclicos.
Propiedades de grupos cíclicos II.
Centralizador, Centro y Automorfismos Interiores.
Subgrupos normales.
Clases laterales y Teorema de Lagrange.
Caracterización de subgrupo normal y el grupo cociente.
El normalizador.
Homomorfismos.
2do Teorema de Isomorfismo.
Teorema de la correspondencia.
Conmutador.
Acciones de grupo.
Acciones de grupo II.
Orbitas de una acción.
Estabilizador y orbitas.
Conteo de orbitas.
Clases de conjugación en \(S_3\).
Recíproco del teorema de la Lagrange para grupos abelianos.
Teorema de Cauchy y subgrupos de Sylow.
Teoremas de Sylow.
Número de subgrupos de Sylow.
Aplicaciones de los teoremas de Sylow.
Aplicaciones de los teoremas de Sylow II.
n!-Teorema.
P-grupos.
P-grupos II.
Ultimos lemas de la parte de Sylow.
Grupo simétrico.
Conjugados en Sn.
Permutaciones pares e impares.
El grupo alternante.
\(A_5\) es simple.
\(A_n\) es simple para \(n\geq 5\) y algunas consecuencias.